Les théorèmes du triangle rectangle, expliqués pas à pas puis mis en pratique.
Niveau 4ᵉ · 3ᵉ — tout fonctionne hors connexion. v2.2
Pythagore
c² = a² + b²
Le point de départ
Un triangle rectangle, c'est quoi ?
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c'est-à-dire un angle qui mesure exactement 90°. On le repère au petit carré dessiné dans le coin.
Un angle droit, c'est le coin d'une feuille de papier, d'une porte ou d'un carreau de ton cahier. Si tu peux y glisser l'équerre, c'est un angle droit.
Sans angle droit, pas de Pythagore. C'est la première chose à vérifier avant tout calcul.
Le vocabulaire
Les trois côtés portent un nom
Les deux côtés qui forment l'angle droit sont les côtés de l'angle droit : on les note a et b.
Le troisième côté, celui qui est en face de l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse. On le note c.
Deux repères infaillibles : l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, et c'est toujours le plus long des trois.
Entraînement de l'œil
À toi : où est l'hypoténuse ?
Le triangle n'est pas toujours posé du même côté. Clique sur l'hypoténuse de chacun de ces trois triangles.
Cherche d'abord le petit carré de l'angle droit, puis regarde le côté qui lui fait face : c'est l'hypoténuse, où qu'elle soit sur le dessin.
L'idée de Pythagore
Un carré posé sur chaque côté
Il y a 2 500 ans, Pythagore a eu cette idée : construire un carré sur chaque côté du triangle.
Chaque carré a une aire. Celui du côté a a pour aire a², c'est-à-dire a × a. Même chose pour b² et pour c².
« a² » se lit « a au carré ». Ce n'est pas a × 2, mais bien a × a. Pour a = 5, a² = 5 × 5 = 25.
La découverte
Les deux petits carrés remplissent le grand
9 + 16 = 25 ✓
Avec un triangle de côtés 3 et 4, compte les carreaux : le carré bleu en contient 9, le turquoise 16. Ensemble, ils font 25… exactement l'aire du grand carré orange, dont le côté mesure 5.
Ce n'est pas un hasard : cela marche pour tous les triangles rectangles. C'est le théorème de Pythagore.
À manipuler
Essaie avec tes propres valeurs
Déplace les curseurs : quelles que soient les longueurs, l'égalité reste vraie.
L'aire du carré orange est toujours la somme des deux autres.
Premier calcul
Trouver l'hypoténuse
Tu connais les deux côtés de l'angle droit et tu cherches le plus long côté. Tu appliques la formule telle quelle.
Le symbole √ (racine carrée) répond à la question : « quel nombre, multiplié par lui-même, donne 100 ? » Réponse : 10, car 10 × 10 = 100. À la calculatrice, c'est la touche √.
Le résultat tombe rarement rond : si c² = 30, alors c = √30 ≈ 5,5 cm. On arrondit en général au dixième.
Deuxième calcul
Trouver un côté de l'angle droit
Cette fois tu connais l'hypoténuse et un seul petit côté. La somme devient une soustraction.
Le piège classique. On additionne toujours quand on cherche l'hypoténuse, on soustrait toujours quand on cherche un côté de l'angle droit. Repère bien qui est l'hypoténuse avant de choisir.
Vérification rapide : le côté trouvé doit être plus court que l'hypoténuse. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur.
Le théorème à l'envers
Savoir si un triangle est rectangle
On te donne les trois longueurs et on te demande si le triangle possède un angle droit. C'est la réciproque du théorème.
Exemple : 9 cm, 12 cm et 15 cm
Plus grand côté : 15 → ce serait l'hypoténuse
D'un côté : 15² = 225
De l'autre : 9² + 12² = 81 + 144 = 225 225 = 225 → le triangle est rectangle.
Si les deux résultats sont différents, le triangle n'est pas rectangle : c'est tout. Attention à bien repérer le plus grand côté avant de calculer.
C'est acquis
Tu sais faire
c² = a² + b²
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Tu connais a et b
Tu additionnes, puis racine carrée : c = √(a² + b²)
Tu connais c et un petit côté
Tu soustrais, puis racine carrée : a = √(c² − b²)
Tu connais les trois côtés
Tu compares c² et a² + b² pour savoir si l'angle droit existe.
1 / 10
Résoudre un exercice en 4 gestes
La même marche à suivre fonctionne pour tous les énoncés.
Repérer l'angle droit et l'hypoténuse
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, le plus long. Note son nom.
Écrire le théorème avec les bonnes lettres
Si l'hypoténuse est c : c² = a² + b². Écris cette ligne avant tout calcul.
Remplacer par les nombres connus
Par exemple c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Garde le carré tant que tu n'as pas fini.
Prendre la racine carrée et conclure
c = √100 = 10. Ajoute l'unité et vérifie que le résultat est plausible.
On soustrait, et toujours dans ce sens : le grand carré moins le petit.
Les quatre erreurs à éviter
Ce sont celles qui coûtent le plus de points.
Confondre a² et a × 2. 7² vaut 49, pas 14.
Additionner alors qu'il faut soustraire. Dès que l'hypoténuse fait partie des données, c'est une soustraction.
Oublier la racine carrée. Trouver c² = 100 n'est pas la réponse : la réponse est c = 10.
Mélanger les unités. Convertis tout dans la même unité avant de calculer, et n'oublie pas de l'écrire dans la conclusion.
À connaître par cœur
Les carrés parfaits reviennent sans arrêt dans les exercices.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
20
n²
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
225
400
Trois trios tombent très souvent : 3 – 4 – 5, 6 – 8 – 10 et 5 – 12 – 13. Les reconnaître fait gagner du temps.
c² = a² + b²
Entre les deux longueurs que tu connais : le calcul est détaillé étape par étape, comme sur ta copie.
Le triangle
Le dessin se met à jour avec tes valeurs. Tu peux le faire pivoter pour t'habituer aux autres positions.
100 %
Pivoter
Carrés
Ce que je cherche
Les longueurs connues
cm
cm
cm
Résultat
La rédaction attendue
a² + b²=c² ?
Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle.
Les trois longueurs
Entre-les dans n'importe quel ordre : le plus grand côté est repéré automatiquement.
cm
cm
cm
Résultat
La rédaction attendue
0réussis
0à revoir
Série en cours : 0
Énoncé
Ta réponse
Correction
Théorème de Pythagore — application d'entraînement pour le collège
Thalès
AMAB = ANAC
Le point de départ
Deux droites coupées par deux parallèles
Deux droites se croisent en un point A. Deux droites parallèles viennent les couper : l'une passe par B et C, l'autre par M et N.
Les petits chevrons sur [MN] et [BC] signifient que ces deux segments sont parallèles. C'est la seule condition pour appliquer le théorème.
Retiens la figure : un sommet commun A, deux droites qui en partent, et deux parallèles qui les traversent. On l'appelle la configuration « triangle », ou « en entonnoir ».
Le vocabulaire
Un petit triangle dans un grand
La figure contient deux triangles qui ont le même sommet A : le petit AMN et le grand ABC.
Trois points sont alignés d'un côté : A, M, B. Et trois de l'autre : A, N, C. Repérer ces deux alignements est la première chose à faire dans un exercice.
M et B sont sur la même droite, N et C sur l'autre. On dit que M correspond à B et que N correspond à C.
L'idée
Le petit triangle est une réduction du grand
Le petit triangle a exactement la même forme que le grand, en plus petit. Toutes ses longueurs ont été multipliées par le même nombre, qu'on appelle le coefficient de réduction.
Sur cette figure, chaque longueur du petit triangle vaut 0,6 fois la longueur correspondante du grand. C'est vrai pour les trois côtés à la fois, jamais pour un seul.
C'est pour cela qu'on peut calculer une longueur inconnue : si un côté a été réduit dans un certain rapport, les deux autres l'ont été dans le même.
Le théorème
Trois quotients toujours égaux
AMAB =
ANAC =
MNBC
Si (MN) est parallèle à (BC), alors ces trois quotients sont égaux.
Chaque fraction compare une longueur du petit triangle à la longueur correspondante du grand.
En haut, on écrit toujours la longueur du petit triangle. En bas, celle du grand. Et on garde le même ordre dans les trois fractions.
Attention : c'est AB qui apparaît, la longueur entière, pas MB. Écrire MB à la place de AB est l'erreur la plus fréquente.
À manipuler
Fais glisser la parallèle
Déplace le curseur : la droite (MN) se rapproche ou s'éloigne de A. Les trois quotients restent égaux entre eux, quelle que soit sa position.
Les trois fractions donnent toujours le même nombre.
La rédaction
Écrire les quotients sans se tromper
Une règle suffit : chaque fraction commence par le sommet commun A, en haut comme en bas.
La bonne façon de lire la figure
Je pars de A et je descends vers M, puis vers B : cela donne AM sur AB. Je fais pareil sur l'autre droite : AN sur AC. Le troisième quotient compare les deux parallèles : MN sur BC.
Le petit toujours en haut, le grand toujours en bas, et A en premier partout. Si tu écris AB sur AM dans une fraction, tu dois l'écrire ainsi dans les trois.
Le troisième quotient est le seul qui ne contienne pas la lettre A. C'est normal : [MN] et [BC] sont les deux parallèles, elles ne passent pas par A.
Premier calcul
Trouver une longueur
Dès que tu connais trois longueurs sur quatre dans une égalité de fractions, tu obtiens la quatrième par un produit en croix.
Exemple : AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 8 cm. Combien vaut AN ?
(MN) // (BC), donc AMAB = ANAC 35 = AN8
AN = 3 × 85 = 245
AN = 4,8 cm
Le produit en croix : on multiplie les deux nombres placés en diagonale, puis on divise par celui qui reste.
Vérification : AN doit être plus petit que AC, puisque N est situé entre A et C. C'est bien le cas.
L'autre figure
La configuration « papillon »
Ici, A se trouve entre les deux parallèles : M et B sont de part et d'autre de A, ainsi que N et C. La figure ressemble à deux ailes.
Le théorème s'écrit exactement pareil : AMAB = ANAC = MNBC. Les points alignés sont M, A, B d'un côté et N, A, C de l'autre.
Même sommet commun, mêmes fractions, mêmes calculs. Seule la position de A change.
Le théorème à l'envers
Démontrer que deux droites sont parallèles
Cette fois, on ne sait pas si les droites sont parallèles : on doit le prouver. On calcule les deux quotients séparément et on les compare.
Exemple : AM = 4, AB = 6, AN = 6, AC = 9
AMAB = 46 ≈ 0,667 ANAC = 69 ≈ 0,667
Les quotients sont égaux, et les points sont dans le même ordre : (MN) est parallèle à (BC).
Deux conditions, pas une : les quotients doivent être égaux et les points doivent se suivre dans le même ordre sur les deux droites.
Si les quotients sont différents, la conclusion est nette : les droites ne sont pas parallèles.
C'est acquis
Tu sais faire
AMAB =
ANAC =
MNBC
Le petit sur le grand, en partant toujours du sommet commun.
On te dit que les droites sont parallèles
Tu appliques le théorème et tu calcules une longueur par produit en croix.
On te demande si elles le sont
Tu calcules les deux quotients et tu les compares : c'est la réciproque.
Dans les deux cas
Tu commences par repérer le sommet commun et les deux alignements.
1 / 10
Résoudre un exercice en 4 gestes
La même marche à suivre fonctionne pour les deux configurations.
Repérer le sommet commun et les alignements
Le sommet commun est le point par lequel passent les deux droites. Note les deux alignements, par exemple A, M, B et A, N, C.
Écrire la phrase de justification
« Les droites (MN) et (BC) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès… ». Sans cette phrase, le calcul ne vaut rien.
Écrire les trois quotients, puis garder les deux utiles
AM/AB = AN/AC = MN/BC. Choisis l'égalité qui contient la longueur cherchée et deux longueurs connues.
Remplacer et faire le produit en croix
Multiplie les deux valeurs en diagonale, divise par la troisième, puis conclus avec l'unité.
Je cherche une longueur du petit triangle
La longueur cherchée est au numérateur.
AMAB = MNBC 410 = MN15
MN = 4 × 1510 = 6 cm
Le résultat doit être plus petit que la longueur correspondante du grand triangle.
Je cherche une longueur du grand triangle
La longueur cherchée est au dénominateur.
AMAB = ANAC 3AB = 520
AB = 3 × 205 = 12 cm
Le résultat doit être plus grand que la longueur correspondante du petit triangle.
Les quatre erreurs à éviter
Ce sont celles qui coûtent le plus de points.
Écrire MB au lieu de AB. Le théorème utilise la longueur entière depuis le sommet commun, pas le morceau qui reste.
Mélanger le petit et le grand. Si le petit est en haut dans une fraction, il doit l'être dans les trois.
Faire correspondre les mauvais points. M est sur la même droite que B, donc M va avec B, et N avec C. Jamais M avec C.
Oublier la justification. Le parallélisme doit être donné dans l'énoncé, ou démontré avant. Sinon, Thalès ne s'applique pas.
Le produit en croix
L'outil de calcul de tout le chapitre.
Quand deux fractions sont égales, ab = cd, alors a × d = b × c. On en déduit n'importe laquelle des quatre valeurs :
a = b × cd ·
b = a × dc ·
c = a × db ·
d = b × ca
La valeur cherchée s'obtient toujours en multipliant les deux nombres qui lui sont opposés en diagonale, puis en divisant par le troisième.
AMAB =
ANAC =
MNBC
Entre les longueurs que tu connais : l'application complète les autres et détaille la rédaction.
La figure
Elle se met à jour avec tes valeurs. Les chevrons rappellent que (MN) et (BC) sont parallèles.
Triangle
Papillon
Les longueurs
Laisse vides celles que tu cherches. Il faut au moins deux longueurs d'une même paire, plus une troisième.
Sur la première droite
cm
cm
Sur la seconde droite
cm
cm
Les deux parallèles
cm
cm
Résultat
La rédaction attendue
AMAB=ANAC ?
Si les deux quotients sont égaux et les points dans le même ordre, alors (MN) et (BC) sont parallèles.
Les quatre longueurs
A est le sommet commun, M et B sur une droite, N et C sur l'autre.
Première droite
cm
cm
Seconde droite
cm
cm
Résultat
La rédaction attendue
0réussis
0à revoir
Série en cours : 0
Énoncé
Ta réponse
Correction
Théorème de Thalès — application d'entraînement pour le collège